Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Вейвлет Хаара

Вейвлет Хаара

Вейвлет Хаара — один из первых и наиболее простых вейвлетов. Он был предложен венгерским математиком Альфредом Хааром в 1909 году. Вейвлеты Хаара ортогональны, обладают компактным носителем, хорошо локализованы в пространстве, но не являются гладкими. Впоследствии Ингрид Добеши стала развивать теорию ортогональных вейвлетов и предложила использовать функции, вычисляемые итерационным путем, названные вейвлетами Добеши.

Построение вейвлета Хаара

Родительская вейвлет-функция ψ с нулевым значением интеграла , определяющая детали сигнала, задается следующим образом:

Масштабирующая функция φ с единичным значением интеграла , определяющая грубое приближение сигнала, постоянна:

Преобразование Хаара

Преобразование Хаара используется для сжатия входных сигналов, компрессии изображений, в основном цветных и черно-белых с плавными переходами. Идеален для картинок типа рентгеновских снимков. Данный вид архивации известен довольно давно и напрямую исходит из идеи использования когерентности областей. Степень сжатия задается и варьируется в пределах 5-100. При попытке задать больший коэффициент на резких границах, особенно проходящих по диагонали, проявляется "лестничный эффект" - ступеньки разной яркости размером в несколько пикселов.

Преобразование Хаара для одномерного сигнала

Пусть имеется одномерный дискретный входной сигнал S. Каждой паре соседних элементов ставятся в соответствие два числа: и . Повторяя данную операцию для каждого элемента исходного сигнала, на выходе получают два сигнала, один из которых является огрубленной версией входного сигнала — a_i, а второй содержит детализирующую информацию, необходимую для восстановления исходного сигнала. Аналогично, преобразование Хаара может быть применено к полученному сигналу a_i и тд.

Пример

Пусть входящий сигнал представляется в виде строки из 8 значений яркости пикселов:. После применения преобразования Хаара получаются следующие две последовательности a₁ и b₁: и. Стоить заметить, что значения b₁ достаточно близки к 0. Повторяя операцию, применительно к последовательности a₁, получаем:.

На примере преобразования Хаара хорошо видна структура дискретного вейвлет-преобразования сигнала. На каждом шаге преобразования сигнал распадается на две составляющие: приближение с более низким разрешением и детализирующую информацию.

Преобразование Хаара для двумерного сигнала

Двумерное преобразование Хаара — это не что иное, как композиция одномерных преобразований Хаара. Пусть двумерный входной сигнал представляется матрицей S. После применения одномерного преобразования Хаара к каждой строке матрицы S получаются две новые матрицы, строки которых содержат аппроксимированную и детализирующую часть строк исходной матрицы. Аналогично к каждому столбцу полученных матриц применяют одномерное преобразование Хаара и на выходе получают четыре матрицы, одна из которых является аппроксимирующей составляющей исходного сигнала, а три оставшиеся содержат детализирующую информацию — вертикальную, горизонтальную и диагональную.