Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Троичная система счисления

позиционная система счисления с целочисленным основанием равным 3.

Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.

Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, {X,Y,Z}, {!,?,%} и др., но в несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {1,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}.

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

Представление чисел в троичных системах счисления

Несимметричная троичная система счисления

Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз, то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза. Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.

Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных показательных позиционных систем счисления, в которой a_k — из троичного множества a={0,1,2}, b=3, веса разрядов равны 3.

Сдвоенные комбинированные системы счисления

В сдвоенных показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы счисления:

1. внутриразрядная система счисления с основанием a, числа которой используются для записи цифр и
2. приписная межразрядная система счисления с основанием b.

Целое число в сдвоенной показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах — на k-тые степени числа b:

, где:

• k — число от 0 до n-1, номер числового разряда,
• n — число разрядов,
• a — число, основание основной внутриразрядной системы счисления,
• a_k — целые числа из множества a, называемые цифрами,
• b — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
  
• b — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение в такой записи называется-ичным разрядом.

При b=a образуются -ичные системы счисления с произведением — a_ka и суммой — , которые при a=3 превращаются в обычную -ичную систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — b — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений a_k более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, a_k могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. Так как a_k-тые ближе к аппаратной части и по a_k-тым из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, а не по b мы определяем и относим число x к троичным системам кодирования, то есть большие основания считать a основным основанием системы счисления, b в таком случае называется основанием вспомогательной системы счисления. Но и это весьма относительно, так как запись числа может быть в одной системе кодирования, а само число может быть в другой системе счисления. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором числа записываются в двоичном коде, а система счисления — десятичная.

Сдвоенные комбинированные троичные системы счисления

Целое число в сдвоенной позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр, перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты b, в записи они опускаются, но подразумевается, что k-тый разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный b.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x_3,b величин, и равно числу размещений с повторениями:
, где:
a=3 — 3-х элементное множество a={0,1,2} из которого берутся цифры a_k, n — число элементов в числе x_3,b.

Дробное число записывается и представляется в виде:

, где m — число разрядов дробной части сдвоенного позиционного числа справа от запятой,

при m=0 дробная часть отсутствует, число — целое,

при a_k из троичного множества a={0,1,2} и b=1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1=1,

при a_k из двоичного множества a={0,1} и b=3 в сумме будут только целые степени — 3,

при a_k из троичного множества a={0,1,2} и b=3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, a_k удовлетворяют неравенству 0<=a_k<=<b, т.е. 0<=a_k<=2<3,

при a_k из десятичного множества a={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и b=3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить строенные, счетверённые и другие системы счисления.

Строенные комбинированные троичные системы счисления

В строенных показательных позиционных троичных системах счисления используются три системы счисления. В вес разряда вводится дополнительный член в третьей системе счисления. Например, сомножитель:

В общем случае c≠3.
При a_k из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При a=2, b=3 и c=2 образуется-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным==1,5.
При других значениях a, b и c образуются другие строенные показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем, число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

Кодирование троичных цифр

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.
1. Трёхуровневое однопроводное кодирование:
2 — ;
1 — ;
0 — .

2. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 1:
2 —;
1 —;
0 —.
3. Двухуровневое двухразрядное двухпроводное кодирование 2:
2 —;
1 —;
0 —.
3. Трёхразрядное одноединичное трёхпроводное кодирование 1:
2 —;
1 —;
0 —.
4. Трёхразрядное однонулевое трёхпроводное кодирование 2:
2 —;
1 —;
0 —.
5. Трёхразрядное единичное трёхпроводное кодирование 3:
2 —;
1 —;
0 —.
6. Двухуровневое нулевое трёхпроводное кодирование 4:
2 —;
1 —;
0 —.
и др.

Сравнение с двоичной системой счисления

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость 2 = 512 чисел, а троичный код имеет ёмкость 3 = 19683 числа, то есть в 3 / 2 = 38,4 раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость 2 = 134217728 чисел, а троичный код имеет ёмкость 3 = 7625597484987 чисел, то есть в 3 / 2 = 56815,13 раз больше.
При восьмидесяти одном разряде двоичный код имеет ёмкость 2 = 2417851693229258349412352 числа, а троичный код имеет ёмкость 3 = 4,434e + 38 чисел, то есть в 3 / 2 = 183396897083556,95 раз больше.

Свойства

Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. А. Кушнеров приписывает эту теорему Джону фон Нейману.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в троичную

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.
Пример: десятичное целое число 48_10,10 переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 48_10,10 делим на 3, частное = 16, остаток a₀ = 0
частное = 16_10,10 делим на 3, частное = 5, остаток a₁ = 1
частное = 5_10,10 делим на 3, частное = 1, остаток a₂ = 2
частное = 1_10,10 делим на 3, частное = 0, остаток a₃ = 1
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 48_10,10 =_3,3 = 1210_3,3.