Кривая Безье - Определение

Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Кривая Безье - Определение

23 января 2011

Оглавление:
1. Кривая Безье
2. Определение
3. Построение кривых Безье
4. Применение в компьютерной графике
5. Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические

Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением

$\mathbf{B}=\sum^n_{i=0} \mathbf{P}_i \mathbf{b}_{i,n},\quad 0<t<1$

где $\mathbf{P}_i$ — функция компонент векторов опорных вершин, а $\mathbf{b}_{i,n}$ — базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.

$\mathbf{b}_{i,n}={n \choose i} t^i^{n-i}$ ,

где ${n \choose i}=\frac{n!}{i!!}$ — число сочетаний из n по i, где n — степень полинома, i — порядковый номер опорной вершины.

Виды кривых Безье

Линейные кривые

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P₀ и P₁ определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

$\mathbf{B}=\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \quad t \in$ .

Квадратичные кривые

Квадратичная кривая Безье задаётся 3-мя опорными точками: P₀, P₁ и P₂.

$\mathbf{B} =^{2}\mathbf{P}_0 + 2t\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2, \quad t \in$ .

Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.

Кубические кривые

В параметрической форме кубическая кривая Безье описывается следующим уравнением:

$\mathbf{B} =^3\mathbf{P}_0 + 3t^2\mathbf{P}_1 + 3t^2\mathbf{P}_2 + t^3\mathbf{P}_3, \quad t \in$ .

Кубическая кривая Безье

Четыре опорные точки P₀, P₁, P₂ и P₃, заданные в 2-х или 3-мерном пространстве определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P₀ направляясь к P₁ и заканчивается в точке P₃ подходя к ней со стороны P₂. То есть кривая не проходит через точки P₁ и P₂, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P₀ и P₁ определяет, как скоро кривая повернёт к P₃.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

$\mathbf{B} = \begin{bmatrix}t^3&t^2& t& 1\end{bmatrix}\mathbf{M}_B \begin{bmatrix}\mathbf{P}_0\\\mathbf{P}_1\\\mathbf{P}_2\\\mathbf{P}_3\end{bmatrix}$ ,

где $\mathbf{M}_B$ называется базисной матрицей Безье:

$\mathbf{M}_B = \begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}$

В современных графических системах, таких как PostScript, Metafont и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

<<< Кватернионы и вращение пространства

Матрица перехода >>>

Компьютерное аппаратное обеспечение
Вычислительные комплексы
Компьютерные данные
Компьютерные журналы
Классы компьютеров
Компьютеры

Программное обеспечение
Производители компьютеров
Профессии в ИТ
Системное администрирование
Компьютерный сленг
Списки компьютерных терминов

Человеко-компьютерное взаимодействие