Интернет магазин китайских планшетных компьютеров



Компьютеры - Вейвлет Койфлет

22 января 2011


Оглавление:
1. Вейвлет Койфлет
2. Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
3. Преимущества и пременение койфлетов



Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций

ортонормированный базис в L2. С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в эксперементальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и ее временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки .

Построение систем вейвлет-функций

Определение скейлинг-функции

Пусть  \varphi представляет собой функцию из в L2, такую что множество ее трансляций

\{ {\varphi}_{0, \;k}\bigr|\varphi_{0, \;k}=\varphi \},

образует ортогональный базис в L2.

Введем  {\varphi}_{j, \;k} согласно:


 {\varphi}_{j, \;k}=2^{j/2}\varphi  j, k\in \Zeta.

Пусть \{ {\varphi}_{0, \;k}\} — ортонормированный базис пространства V0. Тогда для любой функции f\in\mbox{V}_\mathrm{0}:

 f=\sum_k C_k \varphi.

Далее, пусть \{ {\varphi}_{j, \;k}\} — ортонормированный базис пространства Vj , j\in\Zeta. Тогда мы получаем последовательность пространств  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \}, таких что

 V_j\subset V_{j+1} .

Определение. Пусть  {\varphi}_{0, \;k} — ортонормированный базис в L2, тогда разложение функции  f\in L_2 по базисам пространств  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} называется многомасштабным анализом в L2.

Определение. Если  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} является последовательностью пространств многомасштабного анализа в L2, функция  \varphi порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции

Пусть последовательность пространств  \{V_j\bigr|j\in \Zeta \} является последовательностью пространств многомасштабного анализа в L2. Определим пространство Wj как дополнение пространства Vj до пространства Vj + 1, то есть  W_j=V_{j+1}\backslash V_j . Тогда

 V_j=V_0\oplus\bigoplus_{k=0}^{j}W_k ,

или же:

 {L}_{2}=V_0\oplus\bigoplus_{j=0}^{\infty}W_j .

Построим материнскую вейвлет-функцию  \psi \in {L}_{2} ортогональную скейлинг-функции  \varphi . В результате получим набор функций  \{{\psi}_{j, \;k}\bigr|j,k \in \Zeta \} — базис в пространстве Wj.

Вейвлет-разложение

Таким образом, согласно и определению функций  {\psi}_{j, \;k} и  {\varphi}_{j, \;k}) как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция  f\in L_2 может быть разложена в сходящийся в L2 ряд:

 f=\sum_k {\alpha}_k{\varphi}_{0,\;k}+\sum_j\sum_k {\beta}_{j,\;k}{\psi}_{k,\;j},

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

 {\alpha}_k=\int f{\varphi}_{0,\;k}^{\ast}dt,

 {\beta}_{j,\;k}=\int f{\psi}_{j,\;k}^{\ast}dt.

Коэффициенты αk дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты  {\beta}_{j,\;k} содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств Wj используемых для анализа.

Функция m0

Утверждение. Пространства Vj являются вложенными  V_j\subset V_{j+1}  ,  j\in \Zeta при условии, что существует 2π — периодическая функция  m_0\in L_2 такая, что

 \hat{\varphi}=m_0\left \hat{\varphi}\left,

где \hat{\varphi} -Фурье-образ функции \varphi.

Лемма 0.Система функций \{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \} является ортонормированной в L2 тогда и только тогда, когда

 \sum_k \bigr|\hat{\varphi}{\bigr|}^{2}=1 .


Лемма 1. Положим, что \{{\varphi}_{0,\;k}\bigr|k\in\Zeta \}представляет собой ортонормированный базис в L2 . Тогда для любой 2π -периодической функции, удовлетворяющей условию, имеет место равенство:

 \bigr| {m}_{0} {\bigr|}^2 +\bigr| {m}_{0}{\bigr|}^2=1 .


Лемма 2.В том случае, если \varphi представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как m0 — 2π -периодическую функцию из L2 , удовлетворяющую условию, обратное преобразование Фурье образа

 \hat{\psi}=m_{1}\left \hat{\varphi}\left,

где

 m_1=m_{0}^{*}\exp  — вейвлет-функция.


Таким образом, скейлинг-функция \varphi и материнская вейвлет-функция ψ определяются 2π -периодической функцией  m_0\in L_2 согласно,, обладающей определенными свойствами,, + должно выполняться условие

m0 = 0.



Просмотров: 1973


<<< Бикубическая интерполяция
Вейвлет Хаара >>>