Интернет магазин китайских планшетных компьютеров



Компьютеры - Матрица перехода

23 января 2011
купить белье incanto в интернет-магазине

Оглавление:
1. Матрица перехода
2. Свойства



Матрицей перехода от базиса \langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle к базису \langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов \langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle в базисе \langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle.

Обозначается P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}

Использование

При умножении столбца, составленного из коэффициентов разложения вектора по базису a_1, a_2, \ldots, a_n, на матрицу, обратную к матрице перехода, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис b_1, b_2, \ldots, b_n.

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов Rв другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:


\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
Матрицы наиболее распространённых преобразований
В двумерных координатах В однородных двумерных координатах В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование

При a, b и c - коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:


\begin{bmatrix}
a&0 \\
0&b\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a&0&0 \\
0&b&0 \\
0&0&1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a&0&0&0 \\
0&b&0&0 \\
0&0&c&0 \\
0&0&0&1\end{bmatrix}
Поворот

При φ - угол поворота изображения в двухмерном пространстве

По часовой стрелке


\begin{bmatrix}
 \cos \phi & \sin \phi \\
-\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
-\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
          0 &      0 & 1 \end{bmatrix}

Относительно OX на угол φ


\begin{bmatrix}
     1 &       0 & 0      & 0 \\
     0 & \cos\phi&\sin\phi& 0 \\
     0 &-\sin\phi&\cos\phi& 0 \\
     0 &       0 &      0 & 1 \end{bmatrix}

Относительно OY на угол ψ


\begin{bmatrix}
 \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\
       0 & 1 &      0 & 0 \\
-\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\
       0 & 0 &      0 & 1 \end{bmatrix}

Против часовой стрелки


\begin{bmatrix}
 \cos \phi &-\sin \phi \\
 \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}

Относительно OZ на угол χ


\begin{bmatrix}
 \cos \chi &\sin \chi & 0 & 0 \\
-\sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\
       0 &      0 & 1 & 0 \\
       0 &      0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Перемещение

При a, b и c - смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.

В неоднородных координатах не имеет матричного представления.


\begin{bmatrix}
 1 & 0 & a \\
 0 & 1 & b \\
 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & a \\
 0 & 1 & 0 & b \\
 0 & 0 & 1 & c \\
 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}


Просмотров: 6570


<<< Кривая Безье
Параметрическое задание поверхности >>>