Компьютер для операций с функциями - Позиционные коды функций одного аргумента

Интернет магазин китайских планшетных компьютеров

Компьютеры - Компьютер для операций с функциями - Позиционные коды функций одного аргумента

23 января 2011

Оглавление:
1. Компьютер для операций с функциями
2. Позиционные коды функций одного аргумента
3. Позиционные коды функций многих аргументов

Основная идея

Позиционный код целого числа A представляет собой запись цифр α этого числа в некоторой позиционной системе счисления, имеющую вид

$A = \alpha_{0} \alpha_{1} \dots \alpha_k \dots \alpha_{n}$

Такой код можно назвать линейным. В отличие от него позиционный код функции F одного аргумента x имеет вид

$F = \begin{pmatrix} \ & \ & \cdots \\ \ & \ & \alpha_{22} \cdots \alpha_{2k} \cdots \\ \ & \alpha_{11} & \alpha_{12} \cdots \alpha_{1k} \cdots \\ \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} \cdots \alpha_{0k} \cdots \end{pmatrix}$

то есть является плоским и треугольным, поскольку цифры в нем образуют треугольник.
Указанному позиционному коду целого числа соответствует сумма вида

$A = \sum_{k=0}^{n} \alpha_k \rho^k$ ,.

где ρ — основание данной системы счисления. Указанному позиционному коду функции одного аргумента соответствует двойная сумма вида

$F = \sum_{k=0}^{n} \sum_{m=0}^{k} \alpha_{mk} R^ky^{k-m}^m$ ,

где R — целое положительное число, количество значений цифры α, y — определенная функция аргумента x.
Сложение позиционных кодов чисел связано с передачей переноса в старший разряд по схеме

$\alpha_{k} \longrightarrow \alpha_{k+1}$ .

Сложение позиционных кодов функций одного аргумента также связано с передачей переноса по схеме

$\begin{pmatrix} \ \ & \alpha_{k+1,m+1} \\ \ \nearrow & \ \\ \alpha_{k,m} \longrightarrow & \alpha_{k+1,m} \end{pmatrix}$ .

При этом один и тот же перенос передается одновременно в два старших разряда.

R-ые треугольные коды

Треугольный код называется R-ым, если числа α_mk принимают значения из множества

$D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \},$ где $r_1,\;r_2\geq 0$ и $R_{}^{} =r_1+r_2+1$ .

Например, треугольный код является троичным TK₃, если $\alpha_{mk} \in$ , и — четверичным TK₄, если $\alpha_{mk} \in$ .
Для R-ых треугольных кодов справедливы следующие равенства:

$\begin{pmatrix} \ \ & 0 \\ \ \nearrow & \ \\ aR \longrightarrow & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ \ & a \\ \ \nearrow & \ \\ 0 \longrightarrow & a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \ \ & a \\ \ \nearrow & \ \\ 0 \longrightarrow & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ \ & 0 \\ \ \nearrow & \ \\ aR \longrightarrow & -a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \ \ & 0 \\ \ \nearrow & \ \\ 0 \longrightarrow & a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ \ & -a \\ \ \nearrow & \ \\ aR \longrightarrow & 0 \end{pmatrix}$ ,

где a — любое число. Существует TK_R любого целого действительного числа. В частности, TK_R = α. Также существует TK_R любой функции вида y. В частности, $TK_R=$ .

Одноразрядное сложение

в R-ых треугольных кодах состоит в том, что

в данном -разряде определяется сумма $S_{mk}^{}$ слагаемых разрядов $\alpha_{mk}, \ \beta_{mk}$ и двух переносов $p_{m,k-1}, \ p_{m-1,k-1}$ , поступивших в данный разряд слева, то есть

$S_{mk}^{}=\alpha_{mk}+\beta_{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}$ ,

эта сумма представляется в виде $S_{mk}^{}=\sigma_{mk}+Rp_{mk}$ , где $\sigma_{mk} \in D_R$ ,
σ_mk записывается в -разряд суммарного кода, а перенос p_mk из данного разряда передается в -разряд и -разряд.

Эта процедура описывается таблицей одноразрядного сложения, где должны присутствовать все значения слагаемых $\alpha_{mk} \in D_R$ и $\beta_{mk} \in D_R$ и все значения переносов, возникающих при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma_{mk}+Rp_{mk}$ . Такая таблица может быть синтезирована при R > 2.
Ниже приведена таблица одноразрядного сложения при R = 3:

Smk	TK		$\sigma_{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
		0		0
.	.	1	.	.
2		1		1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.		.	.
	1		1
.	.		.	.
	0		0
.	.		.	.

Одноразрядное вычитание

в R-ых треугольных кодах отличается от одноразрядного сложения только тем, что в данном -разряде величина $S_{mk}^{}$ определяется по формуле

$S_{mk}^{}=\alpha_{mk}-\beta_{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}$ .

Одноразрядное деление на параметр R

в R-ых треугольных кодах основано на использовании соотношения

$\begin{pmatrix} \ \ & a \\ \ \nearrow & \ \\ 0 \longrightarrow & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ \ & 0 \\ \ \nearrow & \ \\ aR \longrightarrow & -a \end{pmatrix}$ ,

откуда следует, что деление каждого разряда вызывает переносы в два нижних разряда. Следовательно, разрядный результат в этой операции является суммой частного от деления данного разряда на R и переносов из двух верхних разрядов. Таким образом, при делении на параметр R

в данном -разряде определяется сумма

$S_{mk}^{}=\alpha_{mk}/R-p_{m+1,k}/R+p_{m+1,k+1}$ ,

эта сумма представляется в виде $S_{mk}^{}=\sigma_{mk}+p_{mk}/R$ , где $\sigma_{mk} \in D_R$ ,
σ_mk записывается в -разряд результирующего кода, а перенос p_mk из данного разряда передается в -разряд и -разряд.

Эта процедура описывается таблицей одноразрядного деления на параметр R, где должны присутствовать все значения слагаемых и все значения переносов, возникающих при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma_{mk}+p_{mk}/R$ . Такая таблица может быть синтезирована при R > 2.
Ниже приведена таблица одноразрядного деления на параметр R при R = 3:

Smk	TK		$\sigma_{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.		.	.
	0	0		0
.	.	0	.	.
1/3	1		0	1
.	.	1	.	.
2/3		1/3	1
.	.	1	.	.
4/3	1		1	1
.	.	2	.	.
5/3		1/3	2
.	.	0	.	.
		1/3	0
.	.		.	.
	1			1
.	.		.	.
		1/3
.	.		.	.
	1			1

Сложение и вычитание

R-ых треугольных кодов состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение

R-ых треугольных кодов. Умножение некоторого кода TK_R' на -разряд другого кода TK_R'' заключается в -сдвиге кода TK_R', то есть сдвиге его на k столбцов влево и на m строк вверх. Умножение кодов TK_R' и TK_R'' заключается в последовательных -сдвигах кода TK_R' и сложениях сдвинутого кода TK_R' с частичным произведением.

Дифференцирование

R-ых треугольных кодов. Производная функции F, определенной выше,

$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y}$ .

Поэтому дифференцирование треугольных кодов функции F заключается в определении треугольного кода частной производной $\frac{\partial F}{\partial y}$ и умножении его на известный треугольный код производной $\frac{\partial y}{\partial x}$ . Определение треугольного кода частной производной $\frac{\partial F}{\partial y}$ основано на соотношении

$\frac{\partial }{\partial x} \begin{pmatrix} \ & \ & 0 \\ \ & 0 & \alpha_{mk} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ & \ & \alpha_{mk} \\ \ & 0 & \alpha_{mk} \\ 0 & 0 & \alpha_{mk} \end{pmatrix}$ .

Cпособ дифференцирования заключается в организации переносов из mk-разряда в-разряд и в-разряд, а их суммирование в данном разряде производится аналогично одноразрядному сложению.

Кодирование и декодирование

R-ых треугольных кодов. Функция, представленная рядом вида

$F = \sum_{k=0}^{n} A_k y^k$ ,

с целыми коэффициентами A_k, может быть представлена R-ым треугольным кодом, так как эти коэффициенты и функции y имеют R-ые треугольные коды. С другой стороны, R-ый треугольный код может быть представлен указанным рядом, так как любое слагаемое α_mkRy в позиционном разложении функции может быть представлено таким же рядом.

Укорочение

R-ых треугольных кодов. Так называется операция уменьшения числа ненулевых столбцов. Необходимость укорочения возникает при возникновении переносов за разрядную сетку. Укорочение заключается в делении на параметр R. При этом все коэффициенты представимого кодом ряда уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Исчезает также старший член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций являются сходящимися. Укорочение состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления на параметр R. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждой строки выполняются одновременно, а переносы из младшей строки отбрасываются.

Масштабный коэффициент

R-ый треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным порядку в числе с плавающей точкой. Коэффициент M позволяет представить все коэффиценты кодируемого ряда в виде целых чисел. Коэффициент M умножается на R при укорочении кода. При сложении коэффициенты M выравниваются, для чего необходимо укорачивать один из слагаемых кодов. При умножении коэффициенты M также умножаются.

<<< Виды компьютеров по размеру и исполнению

Компьютерное аппаратное обеспечение
Вычислительные комплексы
Компьютерные данные
Компьютерные журналы
Классы компьютеров
Компьютеры

Программное обеспечение
Производители компьютеров
Профессии в ИТ
Системное администрирование
Компьютерный сленг
Списки компьютерных терминов

Человеко-компьютерное взаимодействие